Критерий согласия Пирсона χ2 (Хи-квадрат)
Метрологические характеристики методов и результатов, получаемых при статистической обработке данных эксперимента, позволяют проводить оценку и сравнение, как методик аналитического эксперимента, так и исследуемых при таком эксперименте объектов, и на этой основе решать ряд прикладных задач.
Основные статистические характеристики однородной выборки и их вычисление Проверка однородности выборки. Исключение выпадающих значений вариант. Термином «выборка» обозначают совокупность статистически эквивалентных найденных в эксперименте величин вариант.
В качестве такой совокупности можно, например, рассматривать ряд результатов, полученных при параллельных определениях содержания какого-либо вещества в однородной по составу пробе. Такие варианты должны быть исключены из выборки перед окончательным вычислением ее статистических характеристик. В количественном химическом анализе величина s часто рассматривается как оценка случайной ошибки, свойственной данному методу анализа.
Квадрат этой величины s2 называют дисперсией. Величина дисперсии может рассматриваться как мера воспроизводимости результатов, представленных в данной выборке. Вычисление величин оценок s и s2 проводят по уравнениям 1. Примечание 1. Необходимым условием применения уравнений 1. В простейшем случае сравнение крайних значений S2k проводят, исходя из величины критерия F, которую вычисляют по уравнению 3. I приложения. В этом случае для полученной выборки сокращенного объема повторяют цикл вычислений статистических характеристик по уравнениям 1.
Вычисление статистических характеристик считают законченным, когда выборка сокращенного объема оказывается однородной. При решении вопроса об однородности конкретной выборки небольшого объема также можно воспользоваться выражением 1. Поэтому правильно говорить о «неопределенности результатов анализа» которая характеризуется доверительным интервалом вместо выражения «погрешность результатов анализа», которое нередко не совсем корректно используется.
Расчет граничных значений доверительного интервала проводят по критерию Стьюдента, предполагая, что варианты, входящие в выборку, распределены нормально: Здесь t P, f — табличное значение критерия Стьюдента см. II приложения. Выражение 2. Примечание 2. Вычисление доверительных интервалов для случая, описанного в примечании 1. Тогда выражения 2. При этом для нижних и верхних границ доверительных интервалов и x имеем: 3. Метрологическая характеристика метода анализа. Сравнение двух методов анализа по воспроизводимости.
Результаты статистической обработки представляют в виде табл. Примечание 3. III приложения. Для случая, описанного в примечании 1.
При этом в графу 8, согласно примечанию 2. Аналогичные замены проводят при вычислении t по уравнению 3. Для сравнения двух методов анализа результаты статистической обработки сводят в табл. Пример 3. Пусть для двух выборок аналитических данных 1 и 2 , характеризующих, например, различные методы анализа, получены метрологические характеристики, приведенные в графах 1 — 10 табл.
Выводы: результаты, полученные первым методом, являются правильными, т. Метрологическая характеристика среднего результата. Сравнение средних результатов двух выборок. Если с помощью данного метода анализа измерения следует определить значение некоторой величины А, то для полученной экспериментально однородной выборки объема m рассчитывают значения величин, необходимые для заполнения табл.
Так поступают в том случае, если применяемый метод анализа измерения не был ранее аттестован метрологически. Если же этот метод уже имеет метрологическую аттестацию, графы 2, 4, 5, 7, 8 и 9 табл.
При заполнении табл. Таблица 4 — Метрологические характеристики среднего результата Таким образом, на основании выражения 2. В случае, предусмотренном в примечании 1. Для проверки гипотезы 4. Эта проверка проводится так, как указано в разделе 3 см. Рассмотрим три случая. Различие дисперсий s21 и s22 статистически недостоверно справедливо неравенство 3.
В этом случае средневзвешенное значение s2 вычисляют по уравнению 1. В противном случае надо признать, что эта гипотеза не противоречит экспериментальным данным. Различие значений s21 и s22 статистически достоверно справедливо неравенство 3. Гипотеза 4. Известно точное значение величины А. Проверку выполняют так, как описано в разделе 3 с помощью выражений 3. Если гипотезы 4. В противном случае гипотеза 4. Примечание 4. В случае, предусмотренном примечанием 1. Когда разность x 1 — x 2 оказывается значимой, определяют доверительный интервал для разности соответствующих генеральных средних : Пример 4.
При определении содержания основного вещества в двух образцах препарата, изготовленных по разной технологии, получены метрологические характеристики средних результатов, приведенные в табл. Таблица 5 -Полученные данные метрологических характеристик средних результатов Требуется решить, является ли первый образец по данному показателю лучшим в сравнении со вторым образцом. Поскольку то согласно неравенству 3. Интерпретация результатов анализа Оценка сходимости результатов параллельных определений.
При рядовых исследованиях аналитик обычно проводит 2 — 3, реже 4 параллельных определения. Варианты полученной при этом упорядоченной выборки объема m, как правило, довольно значительно отличаются друг от друга.
Если неравенство 5. Если для результатов 4 параллельных определений неравенство 5. При невозможности добиться выполнения неравенства 5. В этом случае поступают, как указано в разделе 1. Определение необходимого числа параллельных определений. Предположим, что качество продукции регламентируется предельными значениями amin и amax величины А, которую определяют на основании результатов анализа. Пусть величину А находят экспериментально, как среднее выборки объема т, а метод ее определения метрологически аттестован.
Тогда условие 5. Иными словами, для гарантии качества наблюдаемые пределы изменения величины А на практике следует ограничить значениями: Наоборот, если заданы значения Amin и Amax, значения amin и amax, входящие в неравенство 5.
Наконец, если заданы пары значений A min, amin и A max, amax, то уравнения 5. Это может быть использовано для оценки необходимого числа параллельных определений величины А. Примечание 5. В уравнениях 5. Для случая, предусмотренного примечанием 1. Пример 5. Рассмотрим данные табл. Тогда определение пределов amin и amax, гарантированно характеризующих качество данного образца с заданной доверительной вероятностью P, проводим, исходя из уравнения 5.
Расчет и статистическая оценка параметров линейной зависимости линейной регрессии При использовании ряда химических и физико-химических методов количественного анализа непосредственному измерению подвергается некоторая величина у, которая рассматривается как линейная функция искомой концентрации количества х определяемого вещества или элемента.
Здесь b и а рассматриваются как коэффициенты параметры линейной регрессии y на x. Для использования зависимости 6. Если константы зависимости 6.
Если калибровка проведена и значения констант а и b определены, величину Xi находят по измеренному значению yi: При калибровке величину х рассматривают как аргумент, а величину у — как функцию. Наличие линейной зависимости между х и у целесообразно подтверждать расчетным путем. Для этого по экспериментальным данным, полученным при калибровке, оценивают достоверность линейной связи между х и у с использованием корреляционного анализа и лишь затем рассчитывают значения констант а и b зависимости 6.
В первом приближении судить о достоверности линейной связи между переменными х и у можно по эмпирической величине коэффициента корреляции r, который вычисляют по уравнению: исходя из экспериментальных данных, представленных в табл. Чем ближе значение r к единице, тем менее наблюдаемая линейная зависимость между переменными х и у может рассматриваться как случайная. При столь близких к 1 значениях величины r формальное подтверждение наличия линейной связи между переменными x и у проводить не следует.
Коэффициенты а и b и метрологические характеристики зависимости 6. Пусть в результате эксперимента найдены представленные в табл.
Таблица 6. Значения аргумента х и функции у. Если полученные значения коэффициентов а и b использовать для вычисления значений у по заданным в табл.
Стандартные отклонения sy и sx величин Y и X, рассчитанных соответственно по уравнениям 6.
Коэффициент корреляции Пирсона: онлайн калькулятор
Статистика В предыдущих заметках были описаны процедуры проверки гипотез о числовых и категорийных данных: одновыборочные критери , несколько двухвыборочных , а также основы дисперсионного анализа , позволяющего изучать один или два интересующих нас фактора.
В настоящей заметке мы рассмотрим методы проверки гипотез о различиях между долями признака в генеральных совокупностях на основе нескольких независимых выборок. Resort Properties. Представьте себе, что вы — менеджер компании, владеющей пятью отелями, расположенными на двух курортных островах.
Если гости удовлетворены обслуживанием, велика вероятность, что они вернутся на следующий год и порекомендуют своим друзьям остановиться именно в вашем отеле. Чтобы оценить качество обслуживания, постояльцев просят заполнить анкету и указать, довольны ли они гостеприимством.
Вам необходимо проанализировать данные опроса, определить общую степень удовлетворенности запросов постояльцев, оценить вероятность того, что гости приедут вновь в следующем году, а также установить причины возможного недовольства некоторых клиентов. Например, на одном из островов компании принадлежат отели Beachcomber и Windsurfer. Одинаково ли обслуживание в этих отелях?
Если нет, как эту информацию можно использовать для улучшения качества работы компании? Более того, если некоторые постояльцы заявили, что больше к вам не приедут, какие причины они указывают чаще других? Можно ли утверждать, что эти причины касаются лишь конкретной гостиницы и не относятся ко всей компании в целом? Ранее был описан Z-критерий для сравнения двух долей.
Сейчас мы рассмотрим способ, основанный на сравнении количества успехов в двух группах, а не их долей в генеральных совокупностях. Для сравнения количества успехов в двух независимых группах необходимо заполнить таблицу перекрестной классификации с двумя входами, содержащую количество успехов и неудач в каждой из групп рис.
Такую таблицу часто называют таблицей сопряженности признаков или факторной ранее мы уже приводили примеры таких таблиц; см. Представление категорийных данных в виде таблиц и диаграмм , а в заметке Основные понятия теории вероятностей мы использовали ее для определения понятия вероятности.
Ячейки, образованные пересечением каждой строки и столбца, содержат количество успехов или неудач. Проиллюстрируем применение таблицы сопряженности признаков на примере сценария, описанного выше.
Предположим, что на вопрос «Вернетесь ли вы в следующем году? Существует ли статистически значимая разность между степенью удовлетворенности постояльцев отелей представляющая собой вероятность того, что постояльцы вернутся в следующем году , если уровень значимости равен 0,05? Факторная таблица 2х2 для оценки качества обслуживания постояльцев В первой строке указывается количество постояльцев каждого отеля, заявивших о своем желании вернуться в следующем году успех ; во второй строке — количество постояльцев, выразивших недовольство неудача.
Ячейки, расположенные в столбце «Итого», содержат общее количество гостей, планирующих вернуться в отель в следующем году, а также общее количество гостей, недовольных обслуживанием.
Ячейки, расположенные в строке «Всего», содержат общее количество опрошенных постояльцев каждого отеля. Доля постояльцев, планирующих вернуться, вычисляется путем деления количества постояльцев, заявивших об этом, на общее количество опрошенных гостей данного отеля.
Критерий «хи-квадрат» для сравнения двух долей. Чтобы вычислить ожидаемое количество успехов или неудач в каждой ячейке таблицы сопряженности признаков, необходимо понимать их смысл. Если нулевая гипотеза является истинной, то есть доли успехов в двух генеральных совокупностях равны, выборочные доли, вычисленные для каждой из двух групп, могут отличаться друг от друга лишь по случайным причинам, причем обе доли являются оценкой общего параметра генеральной совокупности р.
В этой ситуации статистика, объединяющая обе доли в одной общей средней оценке параметра р, содержит больше информации, чем каждая из них в отдельности. Эта статистика, обозначаемая символом , представляет собой общую долю успехов в объединенных группах то есть равна общему количеству успехов, деленному на суммарный объем выборок.
Ее дополнение, 1 — , представляет собой общую долю неудач в объединенных группах. Используя обозначения, смысл которых описан в таблице на рис.
Чтобы вычислить ожидаемое количество успехов fe то есть содержимое первой строки таблицы сопряженности признаков , необходимо умножить объем выборки на параметр.
Чтобы вычислить ожидаемое количество неудач fe то есть содержимое второй строки таблицы сопряженности признаков , необходимо умножить объем выборки на параметр 1 —. Это объясняется разностью между наблюдаемым и ожидаемым количеством успехов или неудач в каждой ячейке, которая увеличивается при возведении в квадрат.
Умножая эти две доли на количество опрошенных постояльцев отеля Beachcomber, получаем ожидаемое количество гостей, планирующих вернуться в следующем сезоне, а также число отдыхающих, которые больше не остановятся в этом отеле. Расчеты представлены на рис. Таким образом, существуют веские основания утверждать, что между двумя отелями есть статистически значимая разница в обслуживании постояльцев.
Исследования показывают, что количество гостей, удовлетворенных обслуживанием в отеле Beachcomber, больше количества постояльцев, планирующих снова остановиться в гостинице Windsurfer. Если это условие не выполняется, следует применять точный критерий Фишера. Более того, р-значения обоих критериев одинаковы. Необходимо отметить, что Z-критерий в этой ситуации применять невозможно. Обозначим количество анализируемых независимых генеральных совокупностей буквой с.
Теперь таблица сопряженности признаков состоит из двух строк и с столбцов. Чтобы вычислить ожидаемое количество успехов или неудач в каждой ячейке таблицы сопряженности признаков, необходимо иметь в виду следующее. Если нулевая гипотеза является истинной и доли успехов во всех с генеральных совокупностях равны, соответствующие выборочные доли могут отличаться друг от друга лишь по случайным причинам, поскольку все доли представляют собой оценки доли признака р в общей генеральной совокупности.
В этой ситуации статистика, объединяющая все доли в одной общей или средней оценке параметра р, содержит больше информации, чем каждая из них в отдельности. Эта статистика, обозначаемая символом , представляет собой общую или среднюю долю успехов в объединенной выборке.
Вычисление средней доли: Чтобы вычислить ожидаемое количество успехов fe в первой строке таблицы сопряженности признаков, необходимо умножить объем каждой выборки на параметр. Чтобы вычислить ожидаемое количество неудач fe во второй строке таблицы сопряженности признаков, необходимо умножить объем каждой выборки на параметр 1 —.
Количество степеней свободы этого распределения задается величиной r — 1 c — 1 , где r— количество строк в факторной таблице, с — количество столбцов в таблице. Некоторые статистики полагают, что критерий дает точные результаты, если ожидаемые частоты превышают 0,5. Последнее условие нам представляется разумным компромиссом между этими крайностями.
Чтобы удовлетворить это условие, категории, содержащие небольшие ожидаемые величины, следует объединить в одну. После этого критерий становится более точным.
Если по каким-либо причинам объединение нескольких категорий невозможно, следует применять альтернативные процедуры. Рассмотрим аналогичный опрос, в котором принимают участие постояльцы трех отелей, принадлежащих компании Т. Resort Resources рис. Умножая три доли на количество опрошенных постояльцев в каждом из отелей, получаем ожидаемое количество гостей, планирующих вернуться в следующем сезоне, а также число клиентов, которые больше не остановятся в этом отеле рис.
Следовательно, нулевая гипотеза отклоняется. Для того чтобы выяснить, какие доли отличаются от других, необходимо применять иные методы, например процедуру Мараскуило.
Процедура Мараскуило позволяет сравнивать все группы попарно. Для каждой пары выборочных долей необходимо вычислить отдельный критический размах. Доли, образующие конкретную пару, считаются статистически значимо разными, если абсолютная разность выборочных долей psj — psj превышает критический размах. Проиллюстрируем процедуру Мараскуило на примере опроса постояльцев трех отелей рис 9а. Применяя критерий «хи-квадрат», мы убедились, что между долями постояльцев разных отелей, собирающихся вернуться в следующем году, существует статистически значимая разница.
Для начала вычислим три выборочных доли рис. Далее, вычислим три пары абсолютных разностей и соответствующие критические размахи. Если абсолютная разность больше ее критического размаха, то соответствующие доли считаются значимо разными рис. Кроме того, степень удовлетворенности постояльцев отеля Palm Princess выше, чем у постояльцев отеля Golden Palm.
Эти результаты должны заставить руководство проанализировать причины таких различий и попытаться определить, почему степень удовлетворенности постояльцев отеля Golden Palm значительно ниже, чем у постояльцев других отелей.
Таблица Пирсона
Что такое число независимых слагаемых? Вроде как любое слагаемое то есть отклонение независимо. Пирсон тоже так думал, но оказался неправ. На самом деле число независимых слагаемых будет на один меньше, чем количество групп номинальной переменной n.
Потому что, если мы имеем выборку, по которой уже посчитана сумма частот, то одну из частот всегда можно определить, как разность общего количества и суммой всех остальных. Отсюда и вариация будет несколько меньше.
Данный факт Рональд Фишер заметил лет через 20 после разработки Пирсоном своего критерия. Даже таблицы пришлось переделывать.
Статистическая обработка результатов химического эксперимента
По этому поводу Фишер ввел в статистику новое понятие — степень свободы degrees of freedomкоторое и представляет собой количество независимых слагаемых в сумме. Понятие степеней свободы имеет математическое объяснение и проявляется только в распределениях, связанных с нормальным Стьюдента, Фишера-Снедекора и сам Хи-квадрат.
Чтобы лучше уловить смысл степеней свободы, обратимся к физическому аналогу. Представим точку, свободно движущуюся в пространстве.
Она имеет 3 степени свободы, так как может перемещаться в любом направлении трехмерного пространства. Если точка движется по какой-либо поверхности, то у нее уже две степени свободы вперед-назад, вправо-влевохотя и продолжает находиться в трехмерном пространстве. Точка, перемещающаяся по пружине, снова находится в трехмерном пространстве, но имеет лишь одну степень свободы, так как может двигаться либо вперед, либо.
Как видно, пространство, где находится объект, не всегда соответствует реальной свободе перемещения. Примерно также распределение статистики может зависеть от меньшего количества элементов, чем нужно слагаемых для его расчета. В общем случае количество степеней свободы меньше наблюдений на число имеющихся зависимостей.
Формальное определение следующее. Далее можно было бы перейти к самой формуле, по которой вычисляется функция распределения хи-квадрат, но, к счастью, все давно подсчитано за. Чтобы получить интересующую вероятность, можно воспользоваться либо соответствующей статистической таблицей, либо готовой функцией в Excel.
Интересно посмотреть, как меняется форма распределения хи-квадрат в зависимости от количества степеней свободы. С увеличением степеней свободы распределение хи-квадрат стремится к нормальному. Это объясняется действием центральной предельной теоремы, согласно которой сумма большого количества независимых случайных величин имеет нормальное распределение. Про квадраты там ничего не сказано.
Таблица критических значений корреляции Пирсона
Проверка гипотезы по критерию Хи квадрат Пирсона Вот мы и подошли к проверке гипотез по методу хи-квадрат. В целом техника остается прежней. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что наблюдаемые частоты соответствуют ожидаемым то есть между ними нет разницы, так как они взяты из той же генеральной совокупности.
Если этот так, то разброс будет относительно небольшим, в пределах случайных колебаний. Меру разброса определяют по статистике Хи-квадрат. Далее либо полученную статистику сравнивают с критическим значением для соответствующего уровня значимости и степеней свободылибо, что более правильно, рассчитывают наблюдаемый p-value, то есть вероятность получить такое или еще больше значение статистики при справедливости нулевой гипотезы.
Однако иногда иногда требуется проверить левостороннюю гипотезу. Например, когда эмпирические данные уж оооочень сильно похожи на теоретические.
Тогда критерий может попасть в маловероятную область, но уже слева. Дело в том, что в естественных условиях, маловероятно получить частоты, практически совпадающие с теоретическими. Всегда есть некоторая случайность, которая дает погрешность.
Основные статистические критерии. Критерий Хи-квадрат Пирсона
А вот если такой погрешности нет, то, возможно, данные были сфальсифицированы. Но все же обычно проверяют правостороннюю гипотезу. Вернемся к задаче с игральной костью. На сайте «Медицинская статистика есть калькулятор для расчета критерия МакНеймара. Позволяет исследовать независимые и связанные выборки.
Для оценки достоверности различий двух выборок необходимо перевести доли в значения центрального угла. Программа расчета углового преобразования Фишера. Более подробная информация представлена в учебных пособиях, ссылки на которые даны ниже.
Информационные технологии в обработке анкетных данных в педагогике и биомеханике спорта : учеб. Представление категорийных данных в виде таблиц и диаграмма в заметке Основные понятия теории вероятностей мы использовали ее для определения понятия вероятности. Ячейки, образованные пересечением каждой строки и столбца, содержат количество успехов или неудач. Проиллюстрируем применение таблицы сопряженности признаков на примере сценария, описанного выше.
Предположим, что на вопрос «Вернетесь ли вы в следующем году?
Существует ли статистически значимая разность между степенью удовлетворенности постояльцев отелей представляющая собой вероятность того, что постояльцы вернутся в следующем годуесли уровень значимости равен 0,05? Факторная таблица 2х2 для оценки качества обслуживания постояльцев В первой строке указывается количество постояльцев каждого отеля, заявивших о своем желании вернуться в следующем году успех ; во второй строке — количество постояльцев, выразивших недовольство неудача.
Ячейки, расположенные в столбце «Итого», содержат общее количество гостей, планирующих вернуться в отель в следующем году, а также общее количество гостей, недовольных обслуживанием. Ячейки, расположенные в строке «Всего», содержат общее количество опрошенных постояльцев каждого отеля. Доля постояльцев, планирующих вернуться, вычисляется путем деления количества постояльцев, заявивших об этом, на общее количество опрошенных гостей данного отеля. Критерий «хи-квадрат» для сравнения двух долей.
Чтобы вычислить ожидаемое количество успехов или неудач в каждой ячейке таблицы сопряженности признаков, необходимо понимать их смысл. Если нулевая гипотеза является истинной, то есть доли успехов в двух генеральных совокупностях равны, выборочные доли, вычисленные для каждой из двух групп, могут отличаться друг от друга лишь по случайным причинам, причем обе доли являются оценкой общего параметра генеральной совокупности р.
В этой ситуации статистика, объединяющая обе доли в одной общей средней оценке параметра р, содержит больше информации, чем каждая из них в отдельности. Эта статистика, обозначаемая символомпредставляет собой общую долю успехов в объединенных группах то есть равна общему количеству успехов, деленному на суммарный объем выборок.
Ее дополнение, 1 —представляет собой общую долю неудач в объединенных группах. Используя обозначения, смысл которых описан в таблице на рис. Чтобы вычислить ожидаемое количество успехов fe то есть содержимое первой строки таблицы сопряженности признаковнеобходимо умножить объем выборки на параметр. Чтобы вычислить ожидаемое количество неудач fe то есть содержимое второй строки таблицы сопряженности признаковнеобходимо умножить объем выборки на параметр 1 —.
Таблица УМНОЖЕНИЯ 2️⃣✖4️⃣Это объясняется разностью между наблюдаемым и ожидаемым количеством успехов или неудач в каждой ячейке, которая увеличивается при возведении в квадрат. Умножая эти две доли на количество опрошенных постояльцев отеля Beachcomber, получаем ожидаемое количество гостей, планирующих вернуться в следующем сезоне, а также число отдыхающих, которые больше не остановятся в этом отеле.
Расчеты представлены на рис. Таким образом, существуют веские основания утверждать, что между двумя отелями есть статистически значимая разница в обслуживании постояльцев.
Исследования показывают, что количество гостей, удовлетворенных обслуживанием в отеле Beachcomber, больше количества постояльцев, планирующих снова остановиться в гостинице Windsurfer.
Критерий согласия Пирсона (хи квадрат)
- 100 процентный тест на беременность
- Расход оки на 100 км
- Айфон не заряжается до 100
- Что такое пранк песни
Другие теги: настройка родов блок пол язык стены неделе бесплатно свинины недель беременности узор маме
В этом что-то есть. Большое спасибо за объяснение, теперь я буду знать.
Какой замечательный топик